Формула номинальной ставки сложных процентов

Формула номинальной ставки сложных процентов

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (j).

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

  • во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;
  • во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит N = n • m

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

где j – номинальная годовая ставка процентов.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами:

а) по формуле сложных процентов S =P• (1 +j/m) N/ r

где N/r— число периодов начисления (возможно, дробное)

б) по смешанной формуле S =P• (1 +j/m) a *(1+bj / m)

Пример: Сумма в размере 2000 дол. дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату, введя ежеквартальное начисление процентов.

Решение:

Количество периодов начисления:

N = m • n = 4 • 2 = 8

Наращенная сумма составит:

S = P • (1 + j / m) mn = 2’000 • (1 + 0,1 / 4 ) 8 = 2’436,81 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = S — P = 2’436,81 — 2’000 = 436,81 руб.

Таким образом, через два года на счете будет находиться сумма в размере 2’436,81 руб., из которой 2’000 руб. является первоначальной суммой, размещенной на счете, а 436,81 руб. – сумма начисленных процентов.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

· проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

· срок ссуды более года.

9. Дисконтирование: по сложной годовой процентной ставке, по сложной годовой учетной ставке.

Сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i)

где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле

,

где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Более широко распространено математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

,

где 1/(1 + i) n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид

,

где j – номинальная сложная процентная ставка; 1/ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Для дисконтирования при сложной процентной ставке — при начислении процентов один раз в году — используется формула:

А при начислении процентов m раз в году формула:

При учете вексель выполняет две функции: коммерческого кредита и средства платежа.Абсолютная величина дисконта определяется как разность между номиналом векселя и его современной стоимостью на момент проведения операции. При этом дисконтирование осуществляется по учетной ставке d, устанавливаемой банком: где t — число дней до погашения; d – учетная ставка банка; P — сумма, уплаченная владельцу при учете векселя; N — номинал;Современная стоимость PV (ценные обязательства Р) при учете векселя по формуле:Суть данного метода заключается в том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d. При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения называют антисипативной ставкой процентов[2]. Учетная ставка d иногда применяется идля наращивания по простым процентам. Необходимость в таком наращиваниивозникает при определении будущей суммы контракта, например, общей суммывекселя. Формула определения будущей величины в этом случае имеет вид: Пример 1: Простой вексель на сумму 100 000 с оплатой через 90 дней учитывается вбанке за 60 дней до погашения. Учетная ставка банка 15 %. Определитьвеличину дисконта в пользу банка и сумму, полученную владельцем векселя. Disc = (100000 * 60 * 0.15) / 360 = 2500; Соответственно, владелец векселя получит величину PV: PV=100000 – 2500 = 97500; Предположим, что в рассматриваемом примере владелец векселя решилучесть вексель немедленно после получения, тогда: Disc = (100000 * 90 * 0.15) / 360 = 3750; PV = 100000 – 3750 = 96250; Как следует из полученного результата, при неизменном значении ставкиd чем раньше производится учет векселя, тем больше будет величина дисконта

Читайте также:  Бинбанк поддержка для юридических лиц

в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец.

10. Дисконтирование: по сложной номинальной процентной ставке m раз в году, по сложной учетной ставке m раз в году.

11. Непрерывные проценты: наращение, дисконтирование, связь дискретных и непрерывных процентных ставок.

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV • e j • n = P • e δ • n

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100’000 • (1 + 0,08) 3 = 125’971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100’000 • (1 + 0,08 / 365) 365 • 3 = 127’121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100’000 • e 0,08 • 3 = 127’124,9 долларов.

12. Расчет срока кредита:

— при наращении по сложной годовой ставке %,

— при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

— при наращении по постоянной силе роста.

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

  • ставка сложных процентов:
.

Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?

Решение:

Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

13. Расчет срока кредита:

— при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,

— при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.

Читайте также:  Банкоматы тинькофф в таганроге адреса

14. Расчет процентной ставки:

— при наращении по сложной годовой ставке %,

— при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

— при наращении по постоянной силе роста.

15. Расчет процентной ставки:

— при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,

— при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.

Дата добавления: 2016-11-12 ; просмотров: 690 | Нарушение авторских прав

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции — выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или при наличии долга проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

Содержание

Расчет [ править | править код ]

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна x ⋅ ( 1 + a ) n <displaystyle xcdot (1+a)^> , где x <displaystyle x> — начальная сумма вложенных средств, -1>"> a > − 1 <displaystyle a>-1> -1>"/> — годовая процентная ставка, n <displaystyle n> — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в ( 1 + s / 100 ) <displaystyle (1+s/100)> раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + s/100) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + s/100) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ( 1 + s / 100 ) 2 <displaystyle (1+s/100)^<2>> раз. За три года — в ( 1 + s / 100 ) 3 <displaystyle (1+s/100)^<3>> раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в ( 1 + s / 100 ) N <displaystyle (1+s/100)^> раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

x ⋅ ( 1 + s / ( 12 ∗ 100 ) ) m <displaystyle xcdot (1+s/(12*100))^>

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

Пример [ править | править код ]

Хорошей иллюстрацией является известная евангельская притча о том, как одна бедная вдова во времена Иисуса Христа принесла в жертву в храм последнее, что у неё было — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что в то время существовали банки, и она внесла бы одну монетку в банк, то какая сумма накопилась бы на банковском счёте к сегодняшнему дню, учитывая, что банк обеспечивает капитализацию процентов в сумме, скажем, пять процентов годовых?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Нам [ кому? ] легче будет говорить, не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ( 1 + 0 , 05 ) 2 <displaystyle (1+0,05)^<2>> раз. За три года — в ( 1 + 0 , 05 ) 3 <displaystyle (1+0,05)^<3>> раз.

К 2016 году первичный вклад вырос бы до величины в ( 1 + 0 , 05 ) 2016 <displaystyle (1+0,05)^<2016>> раз больше первоначальной. Величина ( 1 + 0 , 05 ) 2016 <displaystyle (1+0,05)^<2016>> составляет 5 , 22 ⋅ 10 42 <displaystyle 5,22cdot 10^<42>> . При первоначальном вкладе в одну копейку к 2012 году сумма составит 5 , 22 ⋅ 10 40 <displaystyle 5,22cdot 10^<40>> рублей, то есть свыше 52 додециллионов.

Первоначальная идея применения к старинной притче оценок в сложных процентах принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математичных загадок» [1] .

Точная формула для оплаты ежемесячно [ править | править код ]

Точная формула для ежемесячного платежа

C = P r / ( 1 − 1 / ( 1 + r ) n ) <displaystyle C=Pr/(1-1/(1+r)^)>

с = ежемесячный платеж P = начальная сумма r = ежемесячная процентная ставка n = количество периодов выплат

Читайте также:  Банкоматы альфа банка на комендантском

Периодическое начисление [ править | править код ]

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

P ( t ) = P 0 ( 1 + r n ) n t <displaystyle P(t)=P_<0>(1+)^>

t = Общее время в годax

n = число периодов наращения в год

г = Номинальная годовая процентная ставка выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

nt = означает, что nt округляется до ближайшего целого числа.

Непрерывное начисление [ править | править код ]

Пределом ( 1 + r n ) n t <displaystyle (1+)^> при n → ∞ <displaystyle n
ightarrow infty > является e r t <displaystyle e^> (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления, формула принимает вид:

P ( t ) = P 0 e r t <displaystyle P(t)=P_<0>e^>

Мнения [ править | править код ]

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования [2] .

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 + 10/100) 5 = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 руб.

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

% = p * d / y

где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 + p*d/y) n

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Ссылка на основную публикацию
Филиал мтс банка в москве адреса
В Москве МТС Банк имеет 14 отделений, которые предоставляют услуги физическим и юридическим лицам, и 49 банкоматов, из которых 7...
Требования к первичной документации в бухгалтерии
Бухгалтерский учет — научно-организованная система, предназначенная для сбора, обработки, регистрации и анализа информации, применяемой в финансово-хозяйственной деятельности. Бухгалтерский учет отражает...
Требовательные профессии в россии
CashGain.ru Карьера Самые востребованные и высокооплачиваемые профессии. Рынок труда постоянно меняется и довольно трудно сказать, какие самые востребованные профессии в...
Филиал сбербанка в перми
Сбербанк Пермь имеет множество отделений, где можно получить широкий спектор услуг: открыть банковский счет для сбережений, заказать и получить дебетовую...
Adblock detector